토목기사 필기 응용역학 최근 10년 빈출 문제집 50

두 힘은 서로 직교하므로 합력은 R=√(6²+8²)=10 kN이다. ② 8 kN은 북쪽 성분 하나만 본 값이다. ① 10 kN이 피타고라스 합성으로 얻은 정답이다. ③ 12 kN은 성분을 제곱합하지 않은 임의 값이다. ④ 14 kN은 두 힘의 크기를 단순 합한 값으로, 두 힘이 같은 방향일 때만 성립한다. 계산 단위와 조건을 원식에 다시 대입해 결과를 재확인했다.

사다리꼴의 합력은 평균강도와 길이의 곱인 (3+11)×8/2=56 kN이다. 작용점은 왼쪽에서 x=8(3+2×11)/[3(3+11)]=4.762 m이므로 모멘트는 56×4.762=266.7 kN·m이고 ②가 정답이다. ①은 합력을 중앙에 둔 값, ③은 도심 위치를 과대평가한 값, ④는 평균 대신 최대강도를 사용한 값이다.

평면 힘의 원점 모멘트는 M_O=xF_y-yF_x이다. 따라서 M_O=2×(-8)-3×6=-34 kN·m이다. 부호를 반시계방향 양(+)으로 정했으므로 음수는 시계방향을 뜻한다. 크기는 34 kN·m이므로 정답은 ①이다. 10 kN·m은 힘 성분을 단순히 빼서 얻은 값으로 모멘트팔을 반영하지 않았고, 방향을 반대로 고른 선택지도 부호 규약과 맞지 않는다.

자유 열변형률은 αΔT=12×10^-6×40=0.00048이다. 완전 구속 시 이를 상쇄하는 압축응력의 크기는 EαΔT=200,000 MPa×0.00048=96 MPa이다. ①과 ②의 48 MPa는 온도변화를 절반만 적용한 값이고, 온도 상승의 완전 구속 응력은 인장이 아니라 압축이다. ③이 정답이다. ④는 계산값을 두 배로 한 값이다. 계산 단위와 조건을 원식에 다시 대입해 결과를 재확인했다.

테이퍼 봉 식에 N-mm 단위를 일관되게 넣으면 δ=60000×1200×ln2/[200000×(1200-600)]이다. 앞의 비는 0.600 mm이고 ln2=0.6931이므로 δ=0.4159 mm, 약 0.416 mm로 ②가 정답이다. ①은 로그항 또는 길이를 절반 반영했고, ③은 ln2를 1로 보았으며, ④는 로그효과를 두 번 적용한 값이다. 면적 변화는 적분되어 로그항으로 나타난다.

직렬 부재의 각 구간에는 같은 축력 120000 N이 작용하며 전체 신장은 ΣPL/(AE)이다. E=200000 N/mm²로 두면 첫 구간 신장은 120000×800/(600×200000)=0.8 mm, 둘째는 120000×1200/(900×200000)=0.8 mm다. 합계는 1.6 mm이므로 ②가 정답이다. ①은 한 구간만 계산한 값이다.

원형 실축의 최대 비틀림 전단응력은 τmax=16T/(πd³)이다. T=2.0×10⁶ N·mm, d=50 mm를 대입하면 τmax=16×2.0×10⁶/(π×50³)=81.49 MPa로, 반올림하면 81.5 MPa이므로 ②가 정답이다. ①은 최대응력을 절반으로 본 값이고, ③은 극단면2차모멘트의 계수를 잘못 적용한 값이다. ④는 정확한 결과를 두 배로 계산했다.

단일 셀 얇은 폐단면의 일정 전단흐름은 Bredt 식 T=2Amq를 만족한다. 따라서 q=T/(2Am)=20/(2×0.20)=50 kN/m이므로 ②가 정답이다. ①은 분모를 2배 더 크게 적용했고, ③은 식의 계수 2를 누락한 값이다. ④는 면적을 절반으로 잘못 사용한 과대값이다. 2×0.20×50=20 kN·m로 토크가 복원된다.

중공축의 극단면2차모멘트는 J=π(90⁴-54⁴)/32=5.606×10⁶ mm⁴이다. 토크를 4.0×10⁶ N·mm로 바꾸면 φ=TL/(GJ)=4.0×10⁶×2000/(76000×5.606×10⁶)=0.01878 rad이므로 ①이 정답이다. ②는 길이 또는 토크를 절반 반영했고, ③과 ④는 J의 계수나 단위를 잘못 적용한 과대값이다.

첫 면적 A₁=100×300=30,000 mm², 도심 y₁=150 mm이고 둘째 면적 A₂=200×100=20,000 mm², 도심 y₂=50 mm이다. 따라서 ȳ=(A₁y₁+A₂y₂)/(A₁+A₂)=(30,000×150+20,000×50)/50,000=110 mm이다. ① 90 mm와 ④ 130 mm는 면적가중 평균과 맞지 않는다. ② 100 mm는 두 도심을 단순 평균한 값이며 면적 차이를 반영하지 않았다. ③ 110 mm가 정답이다. 계산 단위와 조건을 원식에 다시 대입해 결과를 재확인했다.

문제의 대상은 반원형 면적이 아니라 일정한 선밀도를 가진 반원호 철선이다. 제시식에 r=100 mm를 넣으면 ȳ=2×100/π=63.66 mm이므로 약 63.7 mm인 ③이 정답이다. ①은 r/π, ②는 반원형 면적 도심식 4r/(3π)에 해당해 선 도심과 다르다. ④는 도심을 원호 위에 둔 값으로 대칭인 원호의 평균 위치와 맞지 않는다.

직사각형 면적은 72,000 mm²이고 도심 높이는 120 mm이다. 구멍 면적은 π100²/4=7,854 mm²이며 이를 음의 면적으로 취급한다. 따라서 ȳ=(72000×120-7854×180)/(72000-7854)=112.65 mm, 약 112.7 mm이므로 ③이 정답이다. 구멍이 위쪽에 있으므로 남은 도심이 120 mm보다 아래로 이동한다는 방향 검토도 결과와 맞는다.

전 구간 등분포하중을 받는 단순보의 최대 휨모멘트는 중앙에서 M_max=wL²/8=5×8²/8=40 kN·m이다. ②은 정확한 값의 절반이다. ③는 wL²/10을 적용한 값이다. ①이 정답이다. ④는 분모를 4로 잘못 사용한 값이다. 계산 단위와 조건을 원식에 다시 대입해 결과를 재확인했다.

삼각형 하중의 합력은 18×6/2=54 kN이고, 0에서 최대로 증가하는 분포의 합력점은 영인 고정단에서 2L/3=4 m 떨어진다. 따라서 고정단모멘트는 54×4=216 kN·m이므로 ④가 정답이다. ①은 합력만, ②는 지레팔을 2 m, ③은 지레팔을 3 m로 오인했다. 모멘트 부호는 고정단 부모멘트이다.

오른쪽 지점에 대한 반력을 RB라 하면 왼쪽 지점 모멘트 평형에서 8RB=18×2+30×6=216 kN·m이므로 RB=27 kN이다. 연직력 평형 RA+RB=48 kN에서 RA=48-27=21 kN이므로 ①이 정답이다. ②는 오른쪽 반력, ③은 총하중을 단순히 절반으로 나눈 값, ④는 두 반력의 합이다.

캔틸레버 자유단 집중하중의 처짐은 δ=PL³/(3EI)=10×2³/(3×20,000)=0.001333 m=1.33 mm이다. ②은 분모를 6EI로 둔 값이다. ①가 정답이다. ③과 ④는 표준 처짐식의 계수 또는 단위 변환을 잘못 적용한 값이다. 계산 단위와 조건을 원식에 다시 대입해 결과를 재확인했다.

접선편차는 A-B 사이 M/EI 도형의 B점에 대한 1차모멘트다. 삼각형 면적은 (1/2)×3.0×0.006=0.009이고, 도심은 큰 종거가 있는 B에서 밑변의 1/3인 1.0 m 떨어진다. 따라서 tB/A=0.009×1.0=0.009 m=9 mm이므로 ③이 정답이다. ①은 도심거리만, ②는 삼각형 면적의 절반에 가까운 값이며, ④는 삼각형 면적에서 1/2을 누락했다.

캔틸레버 전 구간 등분포하중의 자유단 처짐은 δ=wL⁴/(8EI)이다. δ=6×2⁴/(8×12000)=96/96000=0.001 m=1.0 mm이므로 ①이 정답이다. ②는 하중 또는 경간효과를 절반 적용했고, ③은 분모의 8을 4로 잘못 사용했다. ④는 경간의 4제곱이나 휨강성을 중복 변경한 과대값이다. m 단위 계산 결과를 mm로 바꿀 때 1000을 곱한다.

직사각형의 도심 수평축에 대한 단면2차모멘트는 I=bh³/12이다. I=200×300³/12=450,000,000=4.50×10^8 mm⁴이다. ①은 높이의 세제곱과 계수를 잘못 적용한 값이다. ②는 정확한 값의 2/3이다. ④이 정답이다. ③는 분모를 6으로 잘못 둔 값이다. 계산 단위와 조건을 원식에 다시 대입해 결과를 재확인했다.

D⁴-d⁴=100⁴-60⁴=87.04×10⁶ mm⁴이다. 여기에 π/64를 곱하면 I=4.2726×10⁶ mm⁴이다. 선택지별 판단: ① 내경 공제를 지나치게 크게 한 값이다. ② π/64 계수나 네제곱을 잘못 처리했다. ③ 단순히 π×10⁶ 정도로 추정한 값이다. ④ 외측 원의 I에서 내측 원의 I를 뺀 정확한 결과이다.

주단면2차모멘트는 평균값 (Ix+Iy)/2=400×10⁶에 반경 √{[(Ix-Iy)/2]²+Ixy²}=√(120²+90²)×10⁶=150×10⁶을 더하고 뺀 값이다. 따라서 Imax=550×10⁶, Imin=250×10⁶ mm⁴이므로 ④가 정답이다. 두 값의 합 800×10⁶은 Ix+Iy와 같아야 하며, 이 불변량 검토도 정답 조합을 지지한다.

양단 힌지의 유효길이는 L=4000 mm이다. P_cr=π²EI/L²=π²×200,000×8.0×10^6/4000² N≈986,960 N=987 kN이다. ①은 유효길이를 2배로 본 경우, ②는 정답의 절반, ④이 정답, ③는 계산값을 2배로 한 값이다. 계산 단위와 조건을 원식에 다시 대입해 결과를 재확인했다.

압연·용접 과정의 불균일 냉각은 자평형 잔류응력을 남긴다. 압축하중이 더해지면 잔류압축 영역이 먼저 항복하여 단면 접선강성이 감소하고 좌굴곡선이 낮아질 수 있다. 선택지별 판단: ① 잔류응력은 인장·압축이 자평형하며 강도를 무한히 높이지 않는다. ② 무외력 상태에도 존재한다. ③ 조기항복과 강성저하를 정확히 설명한다. ④ 재료 탄성계수를 두 배로 바꾸지 않는다.

양단 핀의 유효길이계수는 K=1이므로 Pcr=π²EI/L²이다. EI=210×10⁹×5.0×10⁻⁶=1.05×10⁶ N·m²이고 Pcr=π²×1.05×10⁶/3²=1.151×10⁶ N=1,151 kN이다. 따라서 ①이 정답이다. ②는 I 또는 EI를 절반 적용했고, ③과 ④는 유효길이를 실제보다 짧게 보거나 길이 제곱을 부정확하게 처리한 과대값이다.

대칭이므로 각 지점 반력은 5 kN이다. 꼭대기 절점에서 두 사재 축력 C의 수직성분 합이 10 kN이므로 2C×(4/5)=10, C=6.25 kN이다. 하중을 지지하려면 사재가 꼭대기 절점을 밀어 올려야 하므로 압축이다. ②은 수평성분 6.25×3/5의 크기이며 부재력 자체가 아니다. ③는 수직성분 하나의 크기다. ①이 정답이다. ④는 방향과 계산이 모두 맞지 않는다. 계산 단위와 조건을 원식에 다시 대입해 결과를 재확인했다.

평면 자유물체에는 독립 평형식이 ΣFx=0, ΣFy=0, ΣM=0의 세 개이므로 일반적인 절단면의 미지 부재력은 3개 이하가 되도록 잡는 것이 효율적이다. 두 미지력의 작용선 교점에 대해 모멘트를 취하면 두 항을 동시에 소거할 수 있어 ①이 정답이다. ②는 해가 부족해지고, ③은 핀접합 트러스 부재가 축력만 전달한다는 가정과 반대다. ④도 외력과 지점반력 평형을 선행해야 한다.

절점에 외력이나 지점반력이 없고 세 부재 중 두 부재가 공선이면, 그 두 부재의 힘은 공선방향 성분만 만들 수 있다. 공선에 수직한 평형을 만족시키려면 나머지 비공선 부재의 축력이 0이어야 하므로 ①이 정답이다. ②는 공선방향 평형만으로도 성립하지 않고, ③은 오히려 비공선 부재가 영부재이며, ④는 평형과 부재력 부호를 근거 없이 단정한다.

평면 강절 골조에서 내부힌지가 없을 때 정적 부정정 차수는 D_s=3m+r-3j이다. m=3, r=6, j=4이므로 D_s=9+6-12=3이다. ① 0은 정정구조를 뜻하지만 고정지점 반력이 많다. ② 1과 ③ 2는 부재·절점·반력 수 중 일부를 누락한 값이다. ④ 3이 정답이다. 계산 단위와 조건을 원식에 다시 대입해 결과를 재확인했다.

기구 운동은 변형에너지를 증가시키지 않고도 가능한 비영 변위형상이다. 따라서 어떤 d≠0에 대해 Kd=0이 되어 영 고유값이 존재하고 K는 특이행렬이므로 ②가 정답이다. ①은 안정 구조의 양의 고유값 성질과 혼동했고, ③은 오히려 자유운동이 남는 상황과 반대다. ④도 지점구속 부족이 재료의 고유 탄성계수를 변화시키지는 않는다.

대칭 2경간 연속보의 내부지점 모멘트는 MB=-wL²/8이다. -8×5²/8=-25 kN·m이며 음은 지점부 부모멘트이다. 선택지별 판단: ① wL²/20을 적용한 값이다. ② 계수 1/10을 사용해 크기가 작다. ③ 대칭 3연모멘트 해의 정확한 결과이다. ④ wL²/4를 적용해 두 배 과대평가했다.

평면응력의 주응력은 σ1,2=(σx+σy)/2±√{[(σx-σy)/2]²+τxy²}이다. 평균응력은 50 MPa이고 Mohr원 반지름은 √(30²+30²)=42.43 MPa이다. 따라서 최대 주응력은 50+42.43=92.43 MPa로 ①이 정답이다. ②는 평균응력만, ④는 반지름만 선택한 값이다. ③의 110 MPa는 σx와 τxy를 단순히 더해 80+30=110 MPa로 잘못 계산한 값으로 주응력 변환식과 다르다.

Mohr 응력원에서 두 주응력은 원의 수평축 교점이며, 중심 응력에 반지름을 더하거나 빼서 구한다. 큰 주응력은 18+52=70 MPa이고 작은 주응력은 18-52=-34 MPa이므로 ④가 정답이다. ①은 큰 주응력이고, ②는 반지름 자체를 응력값으로 오인한 것이다. ③은 중심과 반지름의 차에서 압축을 나타내는 음의 부호를 빠뜨린 값이다. 중심보다 반지름이 크므로 작은 주응력이 압축이라는 점도 함께 확인해야 한다.

탄성계수율은 응력-변형률 선도에서 항복점까지 삼각형 면적이므로 Ur=σy²/(2E)이다. E=200,000 MPa로 통일하면 Ur=600²/(2×200,000)=0.90 MPa이다. 1 MPa=1 MJ/m³이므로 0.90 MJ/m³인 ④가 정답이다. ①과 ②는 분모 또는 응력을 과대 적용했고, ③은 삼각형 면적의 관계를 정확히 반영하지 못했다.

직각 로제트에서 ε0=εx, ε90=εy이고 ε45=(εx+εy)/2+γxy/2이다. 따라서 γxy=2ε45-εx-εy=160-420-(-140)=-120 με이므로 ③이 정답이다. ①은 부호를 반대로 취했고, ②는 공학전단변형률의 계수 2를 중복 적용했으며, ④는 정상변형률 차를 단순 합한 값이다. 계산값을 원식에 대입하면 ε45=80 με가 복원된다.

축응력은 P/A=400,000/(100×400)=10 MPa이다. 편심모멘트 M=Pe=400,000×50=20×10^6 N·mm, 단면계수 Z=100×400²/6=2.667×10^6 mm³이므로 휨응력은 7.5 MPa이다. 최대 압축응력은 10+7.5=17.5 MPa이다. ①은 편심을 무시한 값, ②는 휨응력을 과소평가한 값, ③이 정답, ④는 축응력과 휨응력 계산을 중복한 값이다. 계산 단위와 조건을 원식에 다시 대입해 결과를 재확인했다.

모멘트를 N·mm로 바꾸면 첫 항은 -(20×10^6×100)/(200×10^6)=-10 MPa이고 둘째 항은 +(10×10^6×50)/(100×10^6)=+5 MPa이다. 합은 -5 MPa이므로 ②가 정답이다. ①은 두 항을 모두 압축으로 더했고, ③은 전체 부호를 반대로 했으며, ④는 두 항의 절댓값을 인장으로 합한 값이다.

포물선 케이블의 수평장력은 H=wL²/(8f)=2×40²/(8×4)=100 kN이다. ①은 하중 또는 경간 제곱을 절반만 반영한 값이다. ②는 wL에 해당하며 장력식이 아니다. ③이 정답이다. ④는 처짐을 2 m로 잘못 적용했을 때의 값이다. 계산 단위와 조건을 원식에 다시 대입해 결과를 재확인했다.

완만한 대칭 포물선 케이블의 호길이 근사식은 S≈L+8f²/(3L)이다. 추가길이는 8×6²/(3×60)=288/180=1.6 m이므로 S=60+1.6=61.6 m가 되어 ④가 정답이다. ①은 계수 8을 2로, ②는 4로 축소한 결과다. ③은 분모 또는 처짐 제곱을 잘못 적용한 값이다. 케이블 길이가 수평경간보다 약간 큰 조건도 만족한다.

같은 하중을 받는 단순보의 중앙 휨모멘트는 wL²/8=10×20²/8=500 kN·m이다. 중앙 힌지에서 아치 휨모멘트가 0이므로 Hf=500, H=500/5=100 kN이다. ①과 ③는 중앙 단순보 모멘트 또는 상승을 잘못 적용한 값이다. ②이 정답이다. ④는 정확한 수평추력을 25% 크게 잡은 값이다. 계산 단위와 조건을 원식에 다시 대입해 결과를 재확인했다.

3힌지 아치 중앙힌지에서는 휨모멘트가 0이므로 단순보 중앙모멘트 M0와 수평추력 항 Hf가 같아 H=M0/f이다. 주어진 M0=PL/8=40×24/8=120 kN·m이고 H=120/4=30 kN이므로 ④가 정답이다. ①과 ②는 단순보 중앙모멘트를 과소평가했고, ③은 높이로 나누지 않고 하중 수치만 선택한 값이다. Hf=30×4=120 kN·m로 검산된다.

하중이 C 오른쪽에 있으므로 단위하중에 대한 A반력은 (10-7)/10=0.3이다. C단면의 영향선 종거는 0.3×3=0.9 m이고, 실제 휨모멘트는 30×0.9=27 kN·m이므로 ①이 정답이다. ②는 A반력 종거 0.3에 하중만 곱해 단면거리 3 m를 누락했고, ③은 B반력 종거 0.7만 곱해 역시 단면거리와 절단면 평형을 누락했다. ④는 잘못된 종거 2.1 m를 적용한 값이다.

단위 이동하중이 검토단면을 통과하면 그 하중이 절단면의 왼쪽 자유물체에 포함되는지 오른쪽에 포함되는지가 바뀐다. 이 때문에 전단력 영향선은 단면에서 부호규약에 따른 방향으로 크기 1의 불연속 점프를 가지므로 ③이 정답이다. ①은 휨모멘트 영향선의 연속성과 혼동했고, ②는 단면 위치에서 전단 영향이 사라진다고 잘못 보았다. ④의 점프 크기는 경간이 아니라 단위하중 1로 정해진다.

보존력계 선형탄성 구조물의 평형은 허용되는 변위변화에 대한 총잠재에너지의 1차 변분이 0인 정지조건을 만족한다. 그중 안정한 평형에서는 2차 변분이 양이어서 국소 최소가 되므로 ①이 정답이다. ②는 변형에너지와 외력 퍼텐셜을 무시했고, ③은 안정·불안정 판정을 반대로 했다. ④도 탄성계수의 크기와 원리의 정의 여부를 혼동했다.

Castigliano 제2정리는 선형탄성 구조에서 변형에너지를 어떤 일반화하중으로 편미분하면 그 하중의 작용점과 방향에 대응하는 변위 또는 회전각을 얻는다는 내용이다. 따라서 ④가 정답이다. ①은 운동에너지나 동역학적 질량 개념과 무관하고, ②는 평형방정식으로 구하는 반력과 혼동했다. ③의 탄성계수는 변형에너지식의 재료변수일 수 있지만 하중에 대한 편미분 결과 자체는 아니다.

선형계에서는 시간 τ의 미소하중이 이후에 만드는 임펄스응답을 적분하여 전체응답을 얻을 수 있다. 이것이 하중과 충격응답의 convolution인 Duhamel 적분이다. 선택지별 판단: ① 과거 하중기억을 적분하는 방법이다. ② 관성과 진동을 포함한다. ③ 선형 중첩이 전제이다. ④ 미소응답 중첩의 의미를 정확히 설명한다.

강성은 800 kN/m=800,000 N/m이다. m/k=2000/800000=0.0025 s²이고 제곱근은 0.05 s이므로 T=2π×0.05=0.314 s이다. 따라서 ①이 정답이다. ②는 2π를 두 번 또는 제곱근을 잘못 적용했고, ③과 ④는 kN-N 환산을 누락하거나 원진동수와 주기의 관계를 뒤바꾼 값이다. 주기는 시간 단위로 표현한다.

단면적 A=200×300=60,000 mm²이고 평균 전단응력 V/A=120,000/60,000=2 MPa이다. 직사각형의 최대 전단응력은 평균의 1.5배이므로 3 MPa이다. ①은 평균값의 절반이다. ②는 평균 전단응력으로 최대값이 아니다. ④이 정답이다. ③는 최대계수를 2로 잘못 적용한 값이다. 계산 단위와 조건을 원식에 다시 대입해 결과를 재확인했다.

y=h/4이면 4y²/h²=4×(1/16)=1/4이다. 따라서 τ=(3V/2A)(1-1/4)=(3/2)×(3/4)V/A=9/8 V/A=1.125V/A이므로 ④가 정답이다. ①은 괄호값 3/4를 다시 절반으로 줄였고, ②는 앞의 계수 3/2를 누락했다. ③은 해당 위치의 전단응력이 평균값과 같다고 오인했다. 계산값은 중립축 최대값 1.5V/A보다 작아 분포 경향에도 맞는다.

반지름 차는 100 mm이고 ro/ri=2이므로 rn=100/ln2=100/0.6931=144.3 mm이다. 따라서 ②가 정답이다. ①은 로그 대신 임의 비율을 적용했고, ③은 단순 산술평균반지름으로 곡선보 중립축과 다르며, ④는 기하평균에 가까운 값을 선택한 것이다. 곡선보에서는 응력분포가 선형이 아니므로 중립축이 단면도심 반지름과 일반적으로 일치하지 않는다.

얇은 닫힌 원통에서 원주응력은 σh=pD/(2t)=2.4×750/(30)=60 MPa이고, 길이응력은 σl=pD/(4t)=30 MPa이다. 따라서 (60, 30) MPa인 ④가 정답이다. ①은 두 방향을 바꾸었고, ②는 길이방향 평형에서 분모 4t를 쓰지 않았으며, ③은 두 식 모두 절반으로 계산했다. 원주응력이 길이응력의 정확히 두 배라는 평형관계도 만족한다.