토목기사 실기 · 43/50 · 계산형
토목기사 실기 빈출 43 | Xbar-R 관리도 계산과 이상점 판정
군별 평균과 범위에서 두 관리도의 중심선·관리한계를 계산하고 평균 이동과 산포 이상을 분리 판정하는 문제다.
문제
무엇을 답해야 하나요?
콘크리트 압축강도(MPa)를 군별 4개씩 측정했다. 1군 31.2·31.6·31.4·31.8, 2군 31.0·31.4·31.2·31.6, 3군 31.4·31.8·31.6·32.0, 4군 31.1·31.5·31.3·31.7, 5군 32.2·32.6·32.4·32.8이다. n=4의 계수 A2=0.729, D3=0, D4=2.282를 사용하여 ① 군별 평균과 범위 ② Xbarbar와 Rbar ③ Xbar·R 관리한계 ④ 관리상태를 구하시오. 최종값은 소수 둘째 자리까지 표시한다.
출제 의도 보기
계수만 공식에 대입하는 수준을 넘어 군별 통계량, 관리한계, 이상점과 공정상태를 논리적으로 연결하는지 확인한다.
시험장 답안
먼저 채점답안을 완성하세요
- 각 군의 평균과 최댓값-최솟값 범위를 먼저 표로 정리한다.
- 군평균의 평균 Xbarbar와 군범위의 평균 Rbar를 각각 구한다.
- 문제에 준 n=4 계수 A2·D3·D4를 해당 관리도 식에만 적용한다.
- Xbar와 R 관리도를 따로 판정한 뒤 둘 중 하나라도 한계를 벗어나면 공정 전체를 관리상태로 보지 않는다.
상세 풀이
답이 만들어지는 순서
군별 평균과 범위
각 군 네 값의 합을 4로 나누면 31.50, 31.30, 31.70, 31.40, 32.50 MPa다. 모든 군에서 최댓값과 최솟값의 차는 0.60 MPa다.
Xbar_i=Σx/4, R_i=xmax-xmin확정: 군평균 5개, 군범위 모두 0.60 MPa
중심선 계산
다섯 군평균의 합 158.40을 5로 나누고, 다섯 범위의 합 3.00을 5로 나눈다.
Xbarbar=158.40/5=31.68, Rbar=3.00/5=0.60확정: Xbarbar=31.68 MPa, Rbar=0.60 MPa
관리한계 계산
Xbar 관리도에는 A2Rbar를 중심선에 더하고 빼며, R 관리도에는 D4Rbar와 D3Rbar를 쓴다.
UCL_X=31.68+0.729×0.60=32.1174; LCL_X=31.2426; UCL_R=2.282×0.60=1.3692; LCL_R=0확정: Xbar 32.12/31.24, R 1.37/0.00 MPa
관리상태 판정
모든 R값 0.60은 R 관리한계 안에 있다. 그러나 5군 평균 32.50은 Xbar 상부관리한계 32.12보다 크다.
32.50>32.12확정: 산포는 안정, 평균은 제5군 이상 → 공정 비관리상태
채점 핵심
이 표현은 답안에 남기세요
- 군평균 31.50·31.30·31.70·31.40·32.50 MPa
- 5개 군의 평균을 각각 정확히 계산했다.
- 각 군 범위 0.60 MPa
- 각 군의 최댓값에서 최솟값을 빼 범위를 구했다.
- Xbarbar=31.68 MPa, Rbar=0.60 MPa
- 두 관리도의 중심선을 구분했다.
- Xbar UCL/LCL=32.12/31.24 MPa
- A2를 Xbar 관리도 한계식에 적용했다.
- R UCL/LCL=1.37/0.00 MPa
- D4·D3를 R 관리도 한계식에 적용했다.
- 5군 Xbar 이상, 공정 비관리상태
- 한 관리도가 안정해도 다른 관리도의 이상을 무시하지 않았다.
감점 방지
자주 틀리는 지점
각 군 범위를 먼저 구한 뒤 그 평균이 Rbar다.
문제의 군 크기 n=4와 제시 계수를 함께 확인한다.
관리한계는 공정의 통계적 안정성을 보는 경계이며 규격한계와 다르다.
변형 문제 학습
변형 대비
문제가 바뀌어도 적용하는 기준
군범위 하나가 R 관리한계를 넘고 군평균은 모두 Xbar 한계 안인 자료라면 평균 중심은 안정해도 산포 특별원인을 조사해야 한다.
Xbar는 중심 이동, R은 군 안의 벌어짐이다.
현행 기준 주의: 관리도 계수는 군 크기 n에 맞춰 사용한다. 관리한계는 공정 데이터에서 계산하는 통계 경계이고 설계강도·규격한계가 아니다.